Mot-clé - David W. Pravica

Fil des billets - Fil des commentaires

dimanche 20 octobre 2019

Concept du Cube dans le film de Vincenzo Natali

Cube est un film horrifique canadien réalisé par Vincenzo Natali et sorti en 1997. Dans ce film on suit la trace d'un groupe de personnes captifs (un policier, un architecte, une étudiante en mathématiques, une psychologue et un autiste), qui sans savoir pourquoi, se retrouve enfermé dans système sans fin constitué de pièces cubiques communicantes et équipées parfois de pièges mortels.

Cet article va traiter du concept mathématique qui est mis en évidence dans le film et se basera presque intégralement sur ce qui est écrit dans le livre Math Goes to the Movies [Burkard Polster, Marty Ross] à quelques modifications près.

film_cube.png

Tout d'abord il faut savoir que le Cube fonctionne vraiment car il a été conçu par David W. Pravica, professeur de mathématiques à East Carolina University. Il consiste en en une coque extérieure cubique et une coque intérieure cubique qui sont espacés par du vide nommé sarcophage (voir l'image ci-dessous).

Schéma provenant de Math Goes to the Movies [Burkard Polster, Marty Ross]

La coque extérieure mesure 434 pieds et la coque intérieure comporte en son intérieur 26*26*26 = 17 576 cubes plus petits avec une longueur de 15.5 pieds. Ces petits cubes peuvent bouger grâce à des espaces vides. Certains sont piégés et d'autres non. Chaque cube comporte six portes placées au milieu de chaque face qui pemettent aux captifs de ce déplacer sur les cubes adjacents. À intervalles de temps réguliers, un cube en particulier appelé pont, sort de la coque intérieure et se trouve devant la seule sortie de la coque extérieure. AInsi, pour échapper au Cube, les captifs doivent se rendre sur le pont et attendre que le pont se déplace devant la sortie ou bien ils doivent trouver une pièce qui sera adjacente au pont lorsque celui-ci se trouve devant la sortie.

Au début (0:11) du film les personnages constatent les étiquettes numérotées 566, 472 et 737 dans une pièce et les étiquettes numérotées 476, 804 et 539 dans une pièce adjacente (voir l'image ci-dessous).

Image du film Cube de Vincenzo Natali

QUENTIN: Qu'est-ce que c'est, des numéros de série ?
HOLLOWAY: Les numéros de chambre, ils sont différents dans chaque chambre.
WORTH: Oh, génial, il n’y a donc que cent soixante-six millions, quatre cent mille pièces.
HOLLOWAY: Il ne vaut mieux pas ! Nous avons environ trois jours sans nourriture ni eau avant d’être trop faibles pour bouger.

Par la suite (0:39) Worth a avoué qu'il avait conçu l'enveloppe extérieure du système et qu'il était conscient que la forme générale était un cube. Cependant, il ne sait rien de la structure de la coque interne.

LEAVEN: Quelles sont les dimensions de la coque extérieure ?
WORTH: 434 pieds carrés.

Leaven parcourt la pièce dans laquelle ils se trouvent pour en déterminer les dimensions.

LEAVEN: 14 sur 14 sur 14.
WORTH: Le cube intérieur ne peut pas être chassé par la coque extérieure. Il y a un espace.
LEAVEN: Un cube ?
WORTH: Je ne sais pas. Ca a du sens.
LEAVEN: Eh bien, le cube le plus gros que l'on puisse avoir est - 26 pièces sur 26, soit sur 17 576 pièces.

Plus tard, Leaven souligne l'importance du cube de 26 pièces. Notez que diviser les nombres 434 par 14 donnes 31, ce qui donne à penser que 31 × 31 × 31 salles s’installent dans la coque extérieure, avec 29 × 29 × 29 dans la coque interne. Cependant, cela ne prend pas en compte l'épaisseur des murs. En supposant qu'un petit cube mesure 15.5 pieds (avec épaisseur des murs) au lieu de 14 (sans épaisseur des murs), on se retrouve alors avec une possibilité de 434/15.5 soit 28 x 28 x 28 pièces dans la coque extérieure dont 26 x 26x 26 pièces dans la coque intérieure. En réalité les 2 x 2 x 2 pièces à l'extérieur de la coque intérieur n'existent pas et correspondent très certainement pour 1 x 1 x 1 pièces à l'épaisseur de la coque extérieur et pour 1 x 1 x 1 au sarcophage (espace vide - on y reviendra car cela à son importance).

HOLLOWAY: 17 576 chambres ? Oh mon Dieu, ça me fait mal au cœur.
LEAVEN: Descartes.

Leaven ouvre une nouvelle porte et met ses lunettes.

LEAVEN: Leaven, tu es un génie !
QUENTIN: Quoi ?

Nous voyons trois chiffres: 517, 478 et 565.

LEAVEN: coordonnées cartésiennes, bien sûr, coordonnées cartésiennes codées. Ils sont utilisés en géométrie pour tracer des points sur un graphe en trois dimensions.
QUENTIN: En anglais. Ralentissez.
LEAVEN: Bonjour ! Ces nombres sont des marqueurs, une référence de grille, comme la latitude et la longitude sur une carte. Les chiffres nous indiquent où nous en sommes dans le cube.
QUENTIN: Alors où sommes-nous ?

Leaven vient de comprendre que, outre l'indication des pièges, les numéros de chaque pièce codent également ses coordonnées. La coordonnée x est la somme des chiffres du premier nombre, la coordonnée y est la somme des chiffres du deuxième nombre et la coordonnée z est la somme des chiffres du troisième nombre. Par exemple, les coordonnées de la pièce avec les numéros d’identification 517, 478 et 565 sont :

(5 + 1 + 7, 4 + 7 + 8, 5 + 6 + 5) = (13,19,16).

LEAVEN: Ça marche! La coordonnée x est 19.

Ici, Leaven gribouille 928 sur un morceau de métal. Cela ajoute à 9 + 2 + 8 = 19, mais elle ne travaille probablement pas sur le triple 517 478 565 que nous venons de montrer.

LEAVEN: y a ...

Elle gribouille 856, donnant y = 8 + 5 + 6 = 19.

LEAVEN: 26 chambres. Donc [parce que 26−19 = 7], ça nous place - sept pièces du bord.

(0:42) Leaven s'interroge sur un nouvel ensemble de coordonnées.

QUENTIN: Quel est le problème?
LEAVEN: Ces coordonnées: (14, 27, 14).

Notez que la seule façon d'obtenir une coordonnée y de 27 est si le deuxième numéro d'identification est 999. Donc 27 est définitivement la plus grande coordonnée que nous ayons jamais rencontrée. Toutefois, ...

QUENTIN: Et eux ?
LEAVEN: Eh bien, ça n’a aucun sens. En supposant que le cube ait 26 pièces de diamètre, il ne peut y avoir de coordonnées plus grandes que 26. Si cela était correct, nous serions en dehors du cube.

Cette observation s'avérera très importante

Au fur et à mesure du film (1:04) les captifs tentent de regagner la salle contenant le corps de Rennes. Rennes avait été tué dans une pièce adjacente, qui a depuis disparu.

LEAVEN: Rennes n’a-t-il pas été tué dans cette salle ?

Worth ouvre la porte du lieu où Rennes a été tué, mais il n'y a rien. Nous ne voyons que du noir. C’est la coque extérieure.

WORTH: Comment se fait-il qu’il n’y ait rien ? Hé ! Écoutez ce que je dis. Il y avait une chambre là avant. Nous n’avons pas tourné en rond, les chambres l’ont fait !
LEAVEN: Bien sûr. C’est la seule explication logique. Je suis tellement idiote.
WORTH: Qu'est-ce que tu vas faire, Leaven ?
LEAVEN: Donnez-moi une minute. Les nombres sont des marqueurs, des points sur une carte, non ?
WORTH : Vrai.
LEAVEN: Et comment cartographiez-vous un point qui continue à avancer ?
WORTH: Permutations.
QUENTIN: Permu - quoi ?
LEAVEN: Permutations. Une liste de toutes les coordonnées traversées par la pièce. Comme une carte qui vous indique où commence la pièce, combien de fois elle se déplace et où elle se déplace.

Il s’avère que les trois coordonnées ne donnent pas l’emplacement actuel d’une pièce, mais seulement son emplacement de départ. Cependant, Leaven a découvert que les numéros d’identification d’une pièce codent également le mouvement de la pièce à travers le Cube. Nous allons expliquer. Pour déterminer les emplacements suivants d'une pièce, nous calculons d'abord, pour chaque numéro d'identification abc de la pièce, le triple de nombres suivants: a − b, b − c, c − a. Considérez la pièce intitulée 665 972 545, où nos personnages se retrouveront bientôt. Nous calculons d’abord :

665 → 6−6 = 0, 6−5 = 1, 5−6 = -1. Le premier triple des nombres est donc 0,1, −1.

Alors, 972 → 9−7 = 2, 7−2 = 5, 2−9 = −7 et le deuxième triple de nombres est 2,5, −7.

Enfin, 545 → 5−4 = 1, 4−5 = -1, 5−5 = 0. Le troisième triple des nombres est 1, −1,0.

Pour voir comment ces triples régissent le mouvement de la pièce, nous suivrons celle-ci tout au long de son parcours. Pour commencer, nous ajoutons les chiffres de chaque numéro d’identification et nous trouvons notre pièce à son emplacement de départ :

(6 + 6 + 5, 9 + 7 + 2, 5 + 4 + 5) = (17,18,14).

Maintenant, pour le premier coup, ajoutez le premier numéro du premier triple à la composante x, donnant (17 + 0,18,14) = (17,18,14).

Nous ne sommes donc allés nulle part. Cependant, pour le deuxième coup, ajoutez le premier numéro du deuxième triple à la composante y, donnant (17,18 + 2,14) = (17,20,14).

Pour le troisième mouvement, ajoutez le premier nombre du troisième triple à la composante z, en donnant (17,20,14 + 1) = (17,20,15).

Maintenant, répétez cette procédure avec les deuxièmes chiffres de chaque triple et enfin avec les troisièmes chiffres de chaque triple. Le chemin continue donc → (18,20,15) → (18,25,15) → (18,25,14) → (17,25,14) → (17,18,14) → (17,18, 14).

Au total, notre salle a déménagé neuf fois, bien que le premier et le dernier «mouvements», correspondant aux 0, reviennent à rester immobiles. À la fin des neuf déplacements, la pièce est revenue à son emplacement de départ, puis parcourt ces déplacements encore et encore. En fait, chaque pièce aura un cycle similaire, où elle retournera à son emplacement de départ après neuf déménagements. Ceci est une conséquence directe de la somme des décalages pour une coordonnée de pièce étant (a − b) + (b − c) + (c − a) = 0. Après avoir déterminé le déplacement des pièces, revenons à Leaven :

QUENTIN: Le numéro vous dit tout ça ?
LEAVEN: Je ne sais pas. Vous voyez, je n’ai regardé qu’un seul point de la carte, qui est probablement la position de départ. Tout ce que j'ai vu, c'est à quoi ressemblait le cube avant qu'il ne commence à bouger [les coordonnées initiales de la pièce].
QUENTIN: Ok, alors ça bouge. Comment pouvons-nous sortir ?
LEAVEN: 27. Je sais où se trouve la sortie. Vous vous souvenez de la pièce que nous avons traversée auparavant, celle dont les coordonnées sont supérieures à 26 ?
WORTH: Qu'en est-il ?
LEAVEN: Cette coordonnée a placé la pièce en dehors du cube.
WORTH: Un pont ?
LEAVEN: D'accord, mais seulement dans sa position d'origine.
QUENTIN: De quoi tu parles ?
LEAVEN: Regardez, la pièce commence comme un pont. Ensuite, il se fraye un chemin dans le labyrinthe, où nous l’avons rencontré. Mais à un moment donné, il doit revenir à sa position initiale.
WORTH: Donc, le pont n'est qu'un pont ...
LEAVEN: Pour une courte période. Cette chose est comme une serrure à combinaison géante. Lorsque les pièces sont dans leurs positions de départ, le cadenas est ouvert. Mais quand ils sortent de l'alignement, le verrou se ferme.
QUENTIN: Alors, quand ouvre-t-il ?
WORTH: Pour une structure de cette taille, il faut des jours pour terminer un cycle complet.

Nous voyons Leaven calculer. Ils sont maintenant censés se trouver dans la pièce avec les numéros d’identification 665, 972 et 545.

LEAVEN: Nous trouvons ses coordonnées d'origine en ajoutant les nombres. La permutation est trouvée en soustrayant les nombres. C'est tout. La pièce se déplace à 0,1, et-1 sur l'axe des x, 2,5 et-7 sur y, et 1, -1, et 0 sur z.

Leaven a correctement définit le cycle de mouvements que nous avons calculés précédemment. Cependant, elle est sur le point d'aller plus loin

QUENTIN: Et qu'est-ce que ça veut dire ?
LEAVEN: Tu es nul en maths ? D'accord, j'ai besoin des numéros de chambre comme point de référence.

Leaven vient de s’apercevoir qu’il lui est possible de déterminer la position actuelle de la pièce dans laquelle ils se trouvent. L’astuce consiste à comparer le cycle de coordonnées de la pièce avec celui d’une pièce adjacente.

WORTH: 666 - 897 - 466.
QUENTIN: 567 - 898 - d'accord ?
LEAVEN: Oui !
QUENTIN: Et 545 - Vous avez eu ça ?

Nous, et Leaven, avons déjà calculé que la pièce où ils se trouvent, identifiée par 665 972 545, a le cycle :

[665 972 545]

début = (17,18,14) → (17,18,14) → (17,20,14) → (17,20,15) → (18,20,15) → (18,25,15)*(18,25,14)‡(17,25,14)‡ → (17,18,14) → (17,18,14) = début.

Maintenant, comparez cela au cycle de la pièce adjacente de Worth. En calculant comme ci-dessus, nous trouvons que cette pièce parcourt les emplacements suivants :

[666 897 466]

début = (18,24,16) → (18,24,16) → (18,23,16) → (18,23,14) → (18,23,14) → (18,25,14)*‡(18,25,14)*‡(18,25,14)*‡ → (18,24,14)† → (18,24,16) = début.

Notations :
* → (18,25,...)
‡ → (...,25,14)
  → en considérant que les pièces se déplacent en synchronisation (même stade)
  → Collision

Si deux pièces sont adjacentes, leurs coordonnées doivent coïncider dans deux entrées et différer par 1 dans l'entrée restante. Cela implique que Leaven et ses camarades doivent se trouver à l’un des trois emplacements indiqués par un indice supérieur, les emplacements possibles de la pièce de Worth étant indiqués par les indices supérieurs correspondants. Nous devons maintenant examiner une question subtile de la façon dont le Cube devait fonctionner. La solution la plus simple aurait été de faire en sorte que toutes les pièces se déplacent de manière synchronisée, ce qui est peut-être ce qui était prévu à l'origine. Si tel était le cas, les pièces adjacentes auraient non seulement des coordonnées comparables, comme nous l'avons déjà indiqué, mais elles seraient en outre au même stade de leurs cycles.

Pour Leaven et Cie, cela laisse deux possibilités: ils sont à (18,25,15), la salle de Worth étant à (18,25,14) (cinq entrent dans le cycle); ou, ils sont à (17,25,14) avec la salle de Worth à (18,25,14) (sept mouvements dans le cycle). Malheureusement, le Cube dans le film ne peut pas être aussi simple. Si c’était le cas, la pièce de Leaven se serait écrasée dans celle de Worth à (18,25,14), lors du sixième mouvement du cycle. Ainsi, soit il était prévu que les mouvements de la pièce ne soient plus synchronisés, soit il s’agissait d’une erreur qui s’est glissée pendant la production du film. Quoi qu’il en soit, Leaven a besoin de plus d’informations à ce stade. Cela a été fourni par Quentin. Les numéros d’identification de sa chambre sont 567, 898 et 545, ce qui donne le cycle de coordonnées.

[567 898 545]

début = (18,25,14)*‡ → (17,25,14) → (17,24,14)‡ → (17,24,15) → (16,24,15) → (16,25,15) → (16,25,14)‡ → (18,25,14)*‡ → (18,25,14)*‡ → (18,25,14)*‡ = début.

Maintenant, si les mouvements de la pièce ci-dessus sont censés être synchronisés, une comparaison des coordonnées indique que la seule possibilité qui reste est que la pièce de Leaven soit à (17,25,14), sept entrées dans le cycle. Hélas, cela ne peut toujours pas fonctionner: les salles de Worth et de Quentin sont à deux pas, mais elles se sont également heurtées à (18,25,14). Quoi qu’il en soit, le réalisateur a négligé d’informer Leaven de la collision de salles et poursuit le calcul. Cependant, même si les mouvements de la pièce ne sont pas synchronisés, Leaven dispose d'informations suffisantes pour déterminer leur emplacement. Parmi les cycles de coordonnées ci-dessus, il n'y a que deux possibilités: soit Leaven et le groupe sont aux coordonnées (17, 25, 14), avec Quentin et Worth furtivement dans (18, 25, 14) et (16, 25, 14); ou bien ils sont chez (18, 25, 14), avec les chambres de Quentin et Worth chez (18, 24, 14) et (17, 25, 14).

[665 972 545]

début = (17,18,14) → (17,18,14) → (17,20,14) → (17,20,15) → (18,20,15) → (18,25,15)* → (18,25,14)‡(17,25,14)‡ → (17,18,14) → (17,18,14) = début.

Maintenant, comparez cela au cycle de la pièce adjacente de Worth. En calculant comme ci-dessus, nous trouvons que cette pièce parcourt les emplacements suivants:

[666 897 466]

début = (18,24,16) → (18,24,16) → (18,23,16) → (18,23,14) → (18,23,14) → (18,25,14)*‡ → (18,25,14)*‡ → (18,25,14)*‡(18,24,14)† → (18,24,16) = début.

[567 898 545]

début = (18,25,14)*‡ → (17,25,14) → (17,24,14)‡ → (17,24,15) → (16,24,15) → (16,25,15) → (16,25,14)‡ → (18,25,14)*‡ → (18,25,14)*‡ → (18,25,14)*‡ = début.

Et ces deux possibilités se distinguent puisque, dans le premier scénario, les trois pièces sont alignées et que dans le second, elles forment un L (voir figure ci-dessous).

Schéma provenant de Math Goes to the Movies [Burkard Polster, Marty Ross]

On ne peut pas vraiment dire du film comment sont placées les trois salles. Cependant, finalement, Leaven conclut qu’ils sont aux coordonnées (17, 25, 14). Pour ce faire, elle demande plus d'informations:

WORTH: 656 - 778 - 462.

Ceci est supposé identifier une troisième pièce adjacente, mais un calcul du cycle de coordonnées de la pièce montre que cela est impossible. Une autre bêtise.

LEAVEN: C’est suffisant. x est 17, y est 25 et z est 14. Ce qui signifie que cette pièce effectue encore deux déplacements avant de revenir à sa position initiale.
WORTH: Avons-nous le temps?
LEAVEN: Peut-être.

En fait, leur chambre n’est qu’un éloignement de sa position de départ, car le dernier «déménagement» n’a pas d’effet. Il est vrai que Leaven est peut-être en train de calculer que le cube dans son ensemble a besoin de deux mouvements pour revenir à sa configuration de départ. Cependant, cela n'a de sens que si les pièces se déplacent de manière synchronisée. En effet, à ce stade, la solution du casse-tête de Leaven n’a de sens que dans cette hypothèse. Dans ce cas, nous devrons traiter à nouveau avec toutes ces salles qui s’effondrent.